Trigonometrik Dönüşümlerin Fiziksel Yorumu

Trigonometrik Dönüşümlerin Fiziksel Yorumu

Çoğumuz, trigonometrik dönüşüm formüllerini aklımızda tutmakta güçlük çekiyoruz. Ancak; her şeyin bir kolay yanı var. Bu sefer, eğitim adına ilk kez matematiği konu ediniyorum ve kardeşimin benden yardım istemesi ve benim de aklımda tutmakta zorluk çektiğim bir konuya değiniyorum.

Kardeşim, dün, trigonometrik dönüşümlerin henüz daha giriş kısmında, bazı dönüşümler hakkında benden yardım istedi. Ben de formülleri ezberlemeden nasıl aklında tutabileceğini anlattım. Ama; bunlar henüz başlangıç kısmı idi ve ileride daha zor dönüşümler ve ters dönüşüm formülleri onu bekliyordu. Dolayısıyla formüllerin tümünü ezberlemeden aklında nasıl tutabileceğini araştırmaya koyuldum (ben de çoğu zaman unutup internetten bakıyordum ta ki bugüne kadar).

Böylesine önemli ve zor bir konuya ait fiziksel yorumunun, kolay bir dille anlatıldığı Türkçe bir kaynak, ne yazık ki bulamasam da İngilizce kaynaklardan oakroadsystems.com olması gerektiği şekilde konuyu açıklığa kavuşturmuş. Bu yazıda anlatacaklarım bir kısmı şu sayfanın çevirisi olacak ve gerektiği yerlere kendi düşüncemi ekleyeceğim.

Bu İngilizce kaynakta anlatılanlara göre dönüşüm formüllerine farklı bir bakış açısı getiren W.W. Sawyer, kitabının Mathematician’s Delight (1943; 1991 Basım Penguin Books) 15inci bölümünde olayı açıklamıştır.

Not: Bu yazının yazdırılabilir PDF sürümü için tıklayın. (Önerilen)

Birim Çemberin Yorumu

İlk önce birim çemberden başlayalım.

Birim çemberin yarı çapının 1 birim olduğunu düşünürsek, çember üzerinde seçilen A noktasının x ekseni üzerindeki iz düşümü x=cos(a) ve y ekseni üzerindeki iz düşümü ise y=sin(a) olacaktır. Pisagor teoremini hatırlarsak: bir dik üçgende birbirine dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir. O halde

R²=cos²a+sin²a

bağıntısı yardımıyla R=1 olduğunu göz önünde bulundurarak;

cos²a+sin²a=1

olduğunu buluruz. Buradan istediğimizi çekerek farklı varyasyonlar elde edebiliriz. Bu denkleme numara vermiyorum çünkü aşağıda bu formülü kullanmayacağız, ancak bu formülü çıkaramayanı işe almazlar söylemiş olayım

Toplam ve Fark Formülleri

Sinüs ve Cosinüs:

Simge listemizi de verdikten sonra cebrin temeli sayılan üstel ifadelerin özelliklerini hatırlayalım.

x^ax^b = x^a+b (1)

(x^a)^b = x^ab (2)

Euler dönüşümü, lise eğitiminde gösterilmediğinden ve Euler özelliği çok uzun olduğundan yalnızca aşağıdaki formulün bilinmesi yeterlidir. Buna göre e^x exponansiyel bir ifadeyi temsil eder ve değeri yaklaşık olarak 2.718281828 dir. Bu değeri ve e^x ‘li ifadelerin çözümünü bu konu çerçevesinde bilmeye gerek yok. e^x ifadesine ait bilmemiz gereken tek şey aşağıdaki denklem ile ifade edilebiliyor olmasıdır. Bunun dışında bu ifadeyi sabit bir sayı olarak ele alıp üstel ifadelerin özelliklerini uyguladığımızda ulaşmak istediğimiz sonuca zorlanmadan erişmiş oluruz.

cos x + i sin x = e^{ix (3)}

Bu denklemde i kompleks sayının imajer yani sanal eksenini gösteriyor. Bu ifadenin aşağıdaki ifadeye eşit olduğunu unutmayın.

i²=-1 (4)

Bu bilgiler zor diye düşünmeyin; zaten bunları kullanmayacağımızı sadece üstel ifadelerinve karmaşık (kompleks) sayıların özellikleri ile Euler denklemini bilmemiz gerektiğini söylemiştim. Şimdi başlayalım.

3 numaralı denklemde x=A+B yazarsak denklem aşağıdaki forma gelir:

cos(A+B) + i sin(A+B) = e^(iA+iB)

Bundan sonra 1 numaralı özelliği kullanarak e^(iA+iB) ifadesini çarpım biçimde ayırırsak (e^iA e^iB) ve her çarpanı 3 numaralı denklem özelliğinden faydalanarak kompleks sayı olarak yazarsak:

e^iA+iB = e^iA e^iB = (cos A + i sin A)(cos B + i sin B)

açılımını elde ederiz. Bu açılımda birinci parantez e^iA ifadesinin, ikinci parantez ise e^iB ifadesinin Euler özelliği kullanılarak karmaşık sayılarda gösterimidir. Denklemleri toparlayarak tek bir satırda görmek istersek;

cos(A+B) + i sin(A+B) = [cos A cos B − sin A sin B] + i [sin A cos B + cos A sin B]

Reel (Gerçek) kısımları reel kısımlar ile, sanal (imajiner) kısımları sanal kısımlar ile eşitleyecek olursak (örneğin: a+bi = 7−9i eşitliğinde a=7  ve b=-9 dur) aşağıdaki denklem takımlarını elde ederiz.

cos(A+B) = cos A cos B − sin A sin B (5)

sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B  (6)

Benzer yol izlenerek x=A-B yazılırak çözüme gidilirse aşağıdaki fark formülleri elde edilir.

cos(A−B) = cos A cos B + sin A sin B (7)

sin(A−B) = sin A cos B − cos A sin B  (8)

Tanjant:

(9)

Eşitliğini hatırlarsak buradan tanjant toplam ve fark denklemlerini elde edebiliriz. Az önce bulduğumuz sin(A+B) ve cos(A+B) eşitliklerini bu denklemde yerine koyar ve gerekli işlemleri yaparsak;

(10)

Benzer yol ile

(11)

hesaplanabilir.

Yarım Açı Formülleri

5, 6 ve 10 numaralı denklemlerde B=A yazılırsa sırasıyla;

cos(2.A) = cos²A-sin²A=2.cos²A-1=1-2.sin²A

sin(2.A) = 2.sinA.cosA

Bu konu üzerinde fazla durmayacağım, çünkü bu sitenin amacı dışına çıkmış olurum. Sadece olayın özünü kavramanıza yardımcı olmaya çalışıyorum.

Ters Dönüşüm (Çarpımdan Toplamaya Dönüşüm) Formülleri

Burada, kasıtlı olarak ters dönüşüm formüllerini önce yazıyorum. Çünkü, aslında dönüşüm formülleri, ters dönüşüm formüllerinden elde ediliyor. İngilizce de “product to sum” olarak geçmesine karşın Türkçe’ye çevrilirken anlamı değiştirilmiş; dolayısıyla sanki ters dönüşüm formülleri, dönüşüm formüllerinden elde ediliyormuş gibi  hava uyandırılmış.

Bana kalırsa, akılda daha rahat kalması açısından ters dönüşüm formüllerine “çarpımdan toplamaya dönüşüm” veya kısaca “çarpım-toplam dönüşümü”; diğerine de tersini demek daha doğru olur.

5 ve 7 numaralı denklemler taraf tarafa toplanırsa;

+	cos(A+B) = cos A cos B - sin A sin B cos(A-B) = cos A cos B + sin A sin B	(5) (7)
	cos(A−B) + cos(A+B) = 2 cos A cos B

Sonuç sadeleştirilip düzenlenirse aşağıdaki denklem elde edilmiş olur.

cos A cos B = ½ [cos(A−B) + cos(A+B)]  (12)

5 ve 7 numaralı denklemler birbiri ile toplanmak yerine birbirinden çıkarılırsa;

-	cos(A+B) = cos A cos B - sin A sin B cos(A-B) = cos A cos B + sin A sin B	(5) (7)
	cos(A−B) − cos(A+B) = 2 sin A sin B

ve denklem düzenlenirse;

sin A sin B = ½ [cos(A−B) − cos(A+B)]  (13)

else edilir.

6 ve 8 numaralı denklemler benzer işlemlerden geçirilirse aşağıdaki eşitliklere ulaşılabilir.

sin A cos B = ½ sin(A+B) + ½ sin(A−B) (14)

cos A sin B = ½ sin(A+B) − ½ sin(A−B)  (15)

Dönüşüm (Toplamdan Çarpıma Dönüşüm) Formülleri

Eğer 12, 13, 14 ve 15 numaralı denklemlerde;

A = ( u+v )/2          ve            B = ( u-v )/2

buradan

u=A+B ve  v=A-B yazılabilir

değişken dönüşümünü uygularsak denklemler aşağıdaki forma gelir.

cos u + cos v = 2 cos(½(u+v)) cos(½(u−v)) (16)

cos u − cos v = −2 sin(½(u+v)) sin(½(u−v)) (17)

sin u + sin v = 2 sin(½(u+v)) cos(½(u−v)) (18)

sin u − sin v = 2 sin(½(u−v)) cos(½(u+v)) (19)

İşte trigonometri bu kadar basit.

Kaynak: oakroadsystems.com

Yazının yazdırabilir sürümü (PDF)

PDF İndir

Önemli Uyarı: Bu yazı bir çeviri niteliği taşıdığından ve orijinal metinlerin sayfası, kaynakçada referans olarak gösterildiğinden bu dosya için telif hakkı benim tarafımdan serbest bırakılmıştır. Türkçe metinler kopyalanabilir, paylaşılabilir, yazdırabilir. Ancak, orijinal metinlerin yazdırılabilir formata dönüştürülerek ya da pdf dosyası oluşturularak ve referans belirtilmeden paylaşılması, yazar tarafından telif hakkını ihlal olarak nitelendirilmiştir.